جواب کاردرکلاس صفحه27 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 27 ریاضی دوازدهم برای یافتن تابع وارون ($f^{-1}$)، ابتدا یک به یک بودن تابع را بررسی می‌کنیم. سپس ضابطه وارون را با حل $y=f(x)$ بر حسب $x$ و جابجایی $x$ و $y$ به دست می‌آوریم. دامنه تابع وارون برابر برد تابع اصلی است و بالعکس. *** ### الف) $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ 1. **یک به یک بودن:** تابع خطی با شیب $m = -\frac{1}{2}$ است. چون شیب صفر نیست، تابع **اکیداً نزولی** است و لذا **یک به یک** است. (تابع وارون دارد.) 2. **دامنه و برد تابع اصلی:** * **دامنه $D_f$:** $\mathbb{R}$ * **برد $R_f$:** $\mathbb{R}$ 3. **ضابطه تابع وارون $f^{-1}(x)$:** * $y = -\frac{1}{2}x + 3$ * $y - 3 = -\frac{1}{2}x$ * $x = -2(y - 3) = -2y + 6$ * جابجایی $x$ و $y$: $f^{-1}(x) = -2x + 6$ 4. **دامنه و برد تابع وارون:** * **دامنه $D_{f^{-1}}$:** $\mathbb{R}$ (برابر $R_f$) * **برد $R_{f^{-1}}$:** $\mathbb{R}$ (برابر $D_f$) *** ### ب) $g(x) = 1 + \sqrt{x - 2}$ 1. **یک به یک بودن:** تابع رادیکالی $y = \sqrt{x}$ یک به یک است و اعمال تبدیلات انتقال و جمع با عدد مثبت، خاصیت یک به یک بودن را حفظ می‌کند. بنابراین، تابع **یک به یک** است. (تابع وارون دارد.) 2. **دامنه و برد تابع اصلی:** * **دامنه $D_g$:** عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. پس $D_g = [2, +\infty)$. * **برد $R_g$:** چون $\sqrt{x - 2} \ge 0$، پس $1 + \sqrt{x - 2} \ge 1$. پس $R_g = [1, +\infty)$. 3. **ضابطه تابع وارون $g^{-1}(x)$:** * $y = 1 + \sqrt{x - 2}$ * $y - 1 = \sqrt{x - 2}$ * به شرط $y - 1 \ge 0$ (یعنی $y \ge 1$)، طرفین را به توان ۲ می‌رسانیم: * $(y - 1)^2 = x - 2$ * $x = (y - 1)^2 + 2$ * جابجایی $x$ و $y$: $g^{-1}(x) = (x - 1)^2 + 2$ 4. **دامنه و برد تابع وارون:** * **دامنه $D_{g^{-1}}$:** $D_{g^{-1}} = [1, +\infty)$ (برابر $R_g$). این شرط باید در ضابطه وارون اعمال شود. * **برد $R_{g^{-1}}$:** $R_{g^{-1}} = [2, +\infty)$ (برابر $D_g$). $$\mathbf{\text{ضابطه: } g^{-1}(x) = (x - 1)^2 + 2 \quad , \quad x \ge 1}$$ *** ### پ) $h(x) = x^2 + 1$ 1. **یک به یک بودن:** تابع درجه دوم (سهمی) به طور کلی یک به یک **نیست**. * **دلیل:** خط افقی $y=2$، نمودار $y = x^2 + 1$ را در دو نقطه $x=1$ و $x=-1$ قطع می‌کند (چون $h(1) = 2$ و $h(-1) = 2$). * $$\mathbf{\text{نتیجه: تابع } h(x) \text{ یک به یک نیست و تابع وارون ندارد.}}$$ 2. **دامنه و برد تابع اصلی:** * **دامنه $D_h$:** $\mathbb{R}$ * **برد $R_h$:** چون $x^2 \ge 0$، پس $x^2 + 1 \ge 1$. پس $R_h = [1, +\infty)$. 3. **تبصره (برای داشتن وارون):** اگر دامنه تابع به $[0, +\infty)$ **محدود شود**، آنگاه وارون آن به صورت $h^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$ با دامنه $[1, +\infty)$ قابل تعریف خواهد بود.